qG7FM

図3に示すエレベーターでは、ワイヤーロープをモーターで動かして質量 M のかごを昇降させる。ワイヤーロープは滑らないようにモーターに巻き付けてあり、他端にはモーターの負担を軽減するために質量 m のおもりを取り付けてある。ただし、ワイヤーロープは質量が無視でき、たるまないものとする。また、重力加速度の大きさを g とする。

図 3

(問3)qG7FL

(問4)はじめ静止していたかごが一定の加速度 a で時間 t の間上昇した。この時間 t の間にモーターのした仕事はいくらか。

(問5)qG7FN

#センター07追試

モーターのした仕事を直接求めることはできないのですが、かごとおもりの力学的エネルギーの増加分がそれに相当するはずです。

時間 t の間にかごが上昇した距離(=おもりが下降した距離)を h 、時間 t 後のかごの速さ(=おもりの速さ)を v としますと、

(かごの力学的エネルギーの増加分)=
(かごの運動エネルギーの増加分)+(かごの位置エネルギーの増加分)= ( \(\large{\frac{1}{2}}\)Mv2 ) + ( Mgh )

(おもりの力学的エネルギーの増加分)=
(おもりの運動エネルギーの増加分)+(おもりの位置エネルギーの増加分)= ( \(\large{\frac{1}{2}}\)mv2 ) + ( - mgh )

であり、合わせますと、

    \(\large{\frac{1}{2}}\)Mv2 + Mgh + \(\large{\frac{1}{2}}\)mv2 - mgh

   = (M - m)gh + \(\large{\frac{1}{2}}\)(M + m)v2  ……①

となります。

ところで、
等加速度直線運動の速度の関係式( v = v0 + at )にそれぞれの量を代入すると、

    v = at

等加速度直線運動の変位の関係式( x = v0t + \(\large{\frac{1}{2}}\)at2 )にそれぞれの量を代入すると、

    h = \(\large{\frac{1}{2}}\)at2

であり、

これらの値を①式に代入すると、

   ① = (M - m)g(\(\large{\frac{1}{2}}\)at2) + \(\large{\frac{1}{2}}\)(M + m)(at)2

     = \(\large{\frac{1}{2}}\)(M - m)gat2 + \(\large{\frac{1}{2}}\)(M + m)a2t2

となり、これが、かごとおもりの力学的エネルギーの増加分であり、モーターのした仕事であります。