qG6QC

重力加速度の大きさを g としますと、

それぞれのおもりに Mg 、mg 、Mg の重力が掛かっています。

両端の質量 M のおもりについて考えますと、これらが静止しているのは、同じ Mg の力でひもに引っ張り上げられているからです。

そして、1本でつながれたピンと張ったひもの張力はどの地点でも同じです。

この張力は左右対称ですので、真ん中のおもりが左右に動いてしまうことはありません。つまり水平方向のつり合いはとれています。

考えるべきは鉛直方向のつり合いです。mg の力の方が大きければ真ん中のおもりはズルズルと下に落ちていってしまいますし、逆なら上に持ち上がってしまいます。

左図の2つの三角形が相似であることを使って Mg の鉛直成分を割り出します。

左図の三角形の斜辺の長さは三平方の定理（ピタゴラスの定理）より \(\sqrt{a^2+L^2}\) です。

ですので、 Mg の鉛直成分は

　　Mg × \(\large{\frac{a}{\sqrt{a^2+L^2}}}\)

です。

この力2つと mg がつり合っているのですから、鉛直方向のつり合いの式は

　　　　2 × Mg × \(\large{\frac{a}{\sqrt{a^2+L^2}}}\) = mg

となり、

　∴　　2 × M × \(\large{\frac{a}{\sqrt{a^2+L^2}}}\) = m

　∴　　2Ma = m\(\sqrt{a^2+L^2}\)

　∴　　2²M²a² = m²(a² + L²)

　∴　　2²M²a² - m²a² = L²m²

　∴　　(2²M² - m²)a² = L²m²　　　和と差の積の公式 A²-B²=(A-B)(A+B) より

　∴　　(2M - m)(2M + m)a² = L²m²

　∴　　a² = \(\large{\frac{L^2m^2}{(2M-m)(2M +m)}}\)

　∴　　a = \(\large{\frac{Lm}{\sqrt{(2M-m)(2M +m)}}}\)

と求められます。