図1のように、小物体を軽いばねに押し付け、ばねを自然の長さから x だけ縮めた後、静かに放した。小物体は水平面上を運動した後、曲面を上り、点Aで速さ 0 になった。小物体の質量を m 、ばね定数を k 、重力加速度の大きさを g とし、すべての面はなめらかであるものとする。
（問1）ばねから離れて水平面上を運動する小物体の速さ v を式で表わせ。
（問2）点Aの水平面からの高さ h を式で表わせ。
#センター16本試物理基礎
図1のように、小物体を軽いばねに押し付け、ばねを自然の長さから x だけ縮めた後、静かに放した。小物体は水平面上を運動した後、曲面を上り、点Aで速さ 0 になった。小物体の質量を m 、ばね定数を k 、重力加速度の大きさを g とし、すべての面はなめらかであるものとする。
（問1）ばねから離れて水平面上を運動する小物体の速さ v を式で表わせ。
（問2）点Aの水平面からの高さ h を式で表わせ。
#センター16本試物理基礎
（問1）
x だけ押し込まれた小物体の力学的エネルギーは
\(\large{\frac{1}{2}}\)kx2
弾性エネルギーが \(\large{\frac{1}{2}}\)kx2
運動エネルギーが 0
位置エネルギーが 0
『ばね振り子の力学的エネルギー』項参照。
自然の長さまで戻ったときの小物体の力学的エネルギーは
\(\large{\frac{1}{2}}\)mv2
自然の長さの位置から曲面の手前までは等速です。
v のままです。
弾性エネルギーが 0
運動エネルギーが \(\large{\frac{1}{2}}\)mv2
位置エネルギーが 0
力学的エネルギー保存の法則より、上の2つは等しいから、
\(\large{\frac{1}{2}}\)kx2 = \(\large{\frac{1}{2}}\)mv2
∴ kx2 = mv2
∴ v2 = \(\large{\frac{k}{m}}\)x2
∴ v = \(\sqrt{\large{\frac{k}{m}}}\) x
（問2）
自然の長さのときの小物体の力学的エネルギーは
\(\large{\frac{1}{2}}\)mv2
点Aで静止したときの小物体の力学的エネルギーは
mgh
弾性エネルギーが 0
運動エネルギーが 0
位置エネルギーが mgh
すべての面はなめらかであるので力学的エネルギーは保存され、つまり上の2つは等しく、
\(\large{\frac{1}{2}}\)mv2 = mgh
∴ \(\large{\frac{1}{2}}\)v2 = gh
∴ h = \(\large{\frac{v^2}{2g}}\)