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傾きの角 θ のなめらかな斜面上に、ばね定数 k のばねの上端を固定した。図1のように、ばねの他端に質量 m の物体を取りつけたところ、ばねが自然の長さから x0 だけ伸びて、物体は点P0で静止した。ただし、ばねの質量は無視でき、重力加速度の大きさを g とする。

図 1

(問1)ばねの伸び x0 はいくらか。

(問2)次に、物体を点P0から斜面に沿って距離 x だけ上方へ引き上げて静かに手を離すと、物体は下方に滑りはじめた。物体が再び点P0に達したときの物体の速さはいくらか。

(問3)問2で物体が滑りはじめた後、ばねは自然の長さから最大いくら伸びるか。また、そのときの物体の加速度の大きさはいくらか。

#センター08追試

(問1)ばねの伸び x0 はいくらか。

ばねx0 だけ伸びているのだからその力は kx0

物体には mg の重力が掛かっていて、運動方向成分は mgsinθ です。

物体は静止しているので、力のつり合いの式を立てますと、

    kx0 = mgsinθ

 ∴  x0 = \(\large{\frac{mg}{k}}\)sinθ

(問2)次に、物体を点P0から斜面に沿って距離 x だけ上方へ引き上げて静かに手を離すと、物体は下方に滑りはじめた。物体が再び点P0に達したときの物体の速さはいくらか。

ばね振り子の力学的エネルギー』の『このように』で説明しましたが、鉛直ばね振り子においては、「自然長の位置」でなく「つり合いの位置」を中心とみなすと重力について考えなくてすみます。斜面上のばねについても同じです。

つり合いの位置、点P0を位置エネルギーの基準点とし、この地点での物体の速さを v0 とします。

すると、点P0での力学的エネルギーは \(\large{\frac{1}{2}}\)mv02 で、

スタート地点(最高地点)での力学的エネルギーは \(\large{\frac{1}{2}}\)kx2 で、

力学的エネルギー保存の法則より、

    \(\large{\frac{1}{2}}\)mv02 = \(\large{\frac{1}{2}}\)kx2

であり、(この式は『鉛直ばね振り子の力学的エネルギー』の『各点でのおもりの速さ』の『O'点でのおもりの速さ』の式に相当します)

速さは

    v02 = \(\large{\frac{k}{m}}\)x2

 ∴  v0 = \(\sqrt{\large{\frac{k}{m}}}\) x

と求められます。

 

(別解:自然長の位置を基準とした場合の方法も一応示しておきます)

x だけ引き上げた地点(最高点)での力学的エネルギーを考えてみますと、

・運動エネルギーは 0

・弾性エネルギーは \(\large{\frac{1}{2}}\)k(x - x0)2

・位置エネルギーは mg(x - x0)sinθ

よって力学的エネルギーは 0 + \(\large{\frac{1}{2}}\)k(x - x0)2 + mg(x - x0)sinθ  ……①

(これは『鉛直ばね振り子の力学的エネルギー』のA点での力学的エネルギーに相当します)

点P0での力学的エネルギーを考えてみますと、

・運動エネルギーは \(\large{\frac{1}{2}}\)mv02

・弾性エネルギーは \(\large{\frac{1}{2}}\)kx02

・位置エネルギーは mg(- x0)sinθ

よって力学的エネルギーは \(\large{\frac{1}{2}}\)mv02 + \(\large{\frac{1}{2}}\)kx02 + mg(- x0)sinθ  ……②

(これは『鉛直ばね振り子の力学的エネルギー』のO'点での力学的エネルギーに相当します)

力学的エネルギー保存の法則より ①式 = ②式。つまり、

    \(\large{\frac{1}{2}}\)k(x - x0)2 + mg(x - x0)sinθ = \(\large{\frac{1}{2}}\)mv02 + \(\large{\frac{1}{2}}\)kx02 + mg(- x0)sinθ

 ∴  \(\large{\frac{1}{2}}\)k(x - x0)2 + mgxsinθ = \(\large{\frac{1}{2}}\)mv02 + \(\large{\frac{1}{2}}\)kx02

 ∴  \(\large{\frac{1}{2}}\)kx2 - \(\large{\frac{1}{2}}\)2kxx0 + \(\large{\frac{1}{2}}\)kx02 + mgxsinθ = \(\large{\frac{1}{2}}\)mv02 + \(\large{\frac{1}{2}}\)kx02

 ∴  \(\large{\frac{1}{2}}\)kx2 - kxx0 + mgxsinθ = \(\large{\frac{1}{2}}\)mv02   問1の kx0 = mgsinθ を代入して

 ∴  \(\large{\frac{1}{2}}\)kx2 - mgxsinθ + mgxsinθ = \(\large{\frac{1}{2}}\)mv02

 ∴  \(\large{\frac{1}{2}}\)kx2 = \(\large{\frac{1}{2}}\)mv02

 ∴  v0 = \(\sqrt{\large{\frac{k}{m}}}\) x

と同じ結果が得られます。(大変な労力です)

(問3)問2で物体が滑りはじめた後、ばねは自然の長さから最大いくら伸びるか。また、そのときの物体の加速度の大きさはいくらか。

物体は点P0を中心として振幅 x単振動をするから、自然長からの最大の伸びは

    x0 + x

 

(運動方程式 ma = F を立てて a を求める)
この位置での物体の加速度を a と置きます。 この位置での加速度は 0 ではありません
一瞬物体の動きは止まりますが、それは速度が 0 なのです。

物体にはたらく力は左下方向を正として、

  mgsinθ - k(x0 + x)

よって運動方程式は

    ma = mgsinθ - k(x0 + x)

であり、問1の kx0 = mgsinθ を代入すると、

    ma = mgsinθ - mgsinθ - kx

 ∴  ma = - kx

 ∴  a = - \(\large{\frac{k}{m}}\) x

これは左下方向を正とした場合の加速度であり、問題は加速度の大きさを聞いているので、

    a = \(\large{\frac{k}{m}}\) x