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自然の長さ l 、ばね定数 k の二つの軽いばねを、質量 m の小球の上下に取り付けた。下側のばねの端を床に取り付け、上側のばねの端を手で引き上げた。重力加速度の大きさを g とする。

(問3)図2のように、ばねの長さの合計を 2l にして小球を静止させた。小球の床からの高さ h を式で表わせ。ただし、二つのばねと小球は同一鉛直線上にあるものとする。

図 2

(問4)次に、図3のように、床から測った小球の高さが l になるまで、ばねの上端をゆっくり引き上げた。このときのばねの長さの合計 y と、高さ h から l まで小球を引き上げる間に手がした仕事 W を表す式の組合せとして正しいものを、下の①~⑥のうちから一つ選べ。

図 3
y W
\(\large{\frac{mg}{2k}}\) + 2l mg(l - h) + \(\large{\frac{k}{2}}\)(y - l)2 - k(2l - h)2
\(\large{\frac{mg}{2k}}\) + 2l mg(l - h) + k(y - 2l)2 - k(l - h)2
\(\large{\frac{mg}{2k}}\) + 2l mg(l - h) + \(\large{\frac{k}{2}}\)(y - 2l)2 - k(l - h)2
\(\large{\frac{mg}{k}}\) + 2l mg(l - h) + \(\large{\frac{k}{2}}\)(y - l)2 - k(2l - h)2
\(\large{\frac{mg}{k}}\) + 2l mg(l - h) + k(y - 2l)2 - k(l - h)2
\(\large{\frac{mg}{k}}\) + 2l mg(l - h) + \(\large{\frac{k}{2}}\)(y - 2l)2 - k(l - h)2

#センター15本試物理Ⅰ #センター15本試物理

(問3)
lh の差を x と置きますと、この x というのは、上側のばねの伸び幅のことであり、かつ、下側のばねの縮み幅ということになります。

フックの法則より、上側のばねは kx の力で上向きに引っ張り上げていて、下側のばねも kx の力で上向きに押し上げています。

そして、小球には下向きに mg の大きさの重力が掛かっています。

つり合いの式を立てますと、

    kx + kx = mg

 ∴  x = \(\large{\frac{mg}{2k}}\)

よって、

     h = l - x = l - \(\large{\frac{mg}{2k}}\)

 

 

(問4)
y について)
下側のばねは自然長であるので力を発揮していません。小球を上に上げようとしているのは上側のばねだけであり、ばねの伸びを x' とすると x' = y - 2l であり、ばねの力と重力とのつり合いの式を立てますと、

  kx' = mg

⇔ k(y - 2l) = mg

∴ (y - 2l) = \(\large{\frac{mg}{k}}\)

∴  y = \(\large{\frac{mg}{k}}\) + 2l

 

W について)
手がした仕事というのは、重力による位置エネルギー弾性エネルギーの増加分のことです。

(ⅰ) 位置エネルギーの増加分
小物体は h の高さから l の高さに引き上げられたから、重力による位置エネルギーの増加分は

    mgl - mgh = mg(l - h)

(ⅱ) 上側のばねの弾性エネルギーの増加分
上側のばねの引き上げる前のばねの伸びは

    (2l - h) - l = l - h

  よって弾性エネルギーは

    \(\large{\frac{1}{2}}\)k(l - h)2

上側のばねの引き上げた後のばねの伸びは

    (y - l) - l = y - 2l

  よって弾性エネルギーは

    \(\large{\frac{1}{2}}\)k(y - 2l)2

弾性エネルギーの増加分は

    \(\large{\frac{1}{2}}\)k(y - 2l)2 - \(\large{\frac{1}{2}}\)k(l - h)2

(ⅲ) 下側のばねの弾性エネルギーの増加分
下側のばねの引き上げる前のばねの伸びは

    h - l

  よって弾性エネルギーは

    \(\large{\frac{1}{2}}\)k(h - l)2

下側のばねの引き上げた後のばねの伸びは

    0

  よって弾性エネルギーは

    \(\large{\frac{1}{2}}\)k( 0 )2 = 0

弾性エネルギーの増加分は

    0 - \(\large{\frac{1}{2}}\)k(h - l)2 = - \(\large{\frac{1}{2}}\)k(h - l)2

(総計)
よって、手がした仕事は

     W = (ⅰ) + (ⅱ) + (ⅲ)

      = mg(l - h) + \(\large{\frac{1}{2}}\)k(y - 2l)2 - \(\large{\frac{1}{2}}\)k(l - h)2 - \(\large{\frac{1}{2}}\)k(h - l)2

      = mg(l - h) + \(\large{\frac{1}{2}}\)k(y - 2l)2 - \(\large{\frac{1}{2}}\)k(l - h)2 - \(\large{\frac{1}{2}}\)k(l - h)2

      = mg(l - h) + \(\large{\frac{1}{2}}\)k(y - 2l)2 - k(l - h)2

      = mg(l - h) + \(\large{\frac{k}{2}}\)(y - 2l)2 - k(l - h)2

すなわち答えはです。