浮力

海に船が浮いたり、プールに入ると体が軽く感じたり、池に投げた石がゆっくり沈んでいくのは、水中には浮き上がらせようとする力があるからです。この力を浮力といいます。

水中の物体の上面を押す力より下面を押す力の方が大きいことにより浮力が生じます。浮力とは、流体中において、深さによる圧力の差によって生じる鉛直上向き(=重力と反対方向)の力、です。この浮力の式を導き出してみます。

3224-10-1a左図のような物体が水中にあるとします。物体の側面にはたらく圧力は対面同士でつり合うので合力は0です。

物体の上面を押す圧力を p 1 [Pa]、下面を押す圧力を p 2 [Pa]、上面の深さを h 1 [m]、下面の深さを h 2 [m]、大気圧を p 0 [Pa]、水の密度を ρ [kg/m³]、物体の体積を V [m³]、上面、下面の面積を S [m²]、高さを l [m]、とします。

前項の水圧の式 p = p 0 +ρg h より

物体の上面を押す圧力 p 1 =p 0 +ρg h 1 [Pa]、物体の下面を押す圧力 p 2 =p 0 +ρg h 2 [Pa]、

浮力=下面を押す力-上面を押す力 だから、浮力を F [N]とすると、

F = p 2 ×S - p 1 ×S = {p 2 - p 1 S = {(p 0 +ρg h 2 ) - (p 0 +ρg h 1 )}×S ={h 2 -h 1 }ρg S =lρg S =ρlS g =ρV g [N]

3224-20-1左式は水中だけでなく他の流体中でも成り立ちます。

そしてよく見ると、沈められている物体の密度を表す記号が出てきません。浮力は物体の密度とは無関係です。物体の回りの流体の密度と関係があるのです。その他に関係するのは、(g は定数なので)、物体の体積だけです。

アルキメデスの原理

3224-30-1aですので上式を解釈すると、浮力の大きさは流体の密度と物体の体積を掛け合わせたものに g を掛けたものです。流体の密度と物体の体積を掛け合わせたものに g を掛けたものというのは物体が排除した流体の重さであります。つまり「浮力の大きさは、物体が排除した流体の重さに等しい」といえます。これをアルキメデスの原理といいます。(古代ギリシャの数学者アルキメデスが発見しました。)

3224-40-1

3224-50-1左図は水分子の中に物体が沈められている場面を示しています。前項の水圧の説明と同様、これはあくまでも説明のための仮想モデルです。

この物体にかかる圧力は、

3224-50-2aこのようになります。(前項の水圧の説明参照。)

横方向の圧力はちょうど対面同士で打ち消し合います。縦方向の圧力だけ残ります。

3224-50-3aどのような形の物体でも横方向の圧力は対面同士で打ち消し合い、縦方向の圧力だけ残ります。浮力の方向が常に鉛直上向きであるゆえんです。

3224-50-4a残った縦方向の圧力を見ますと、その圧力差は分子の個数分になります。左図では分子4個分です。段数によって圧力に差があるのは分子自身の重さによるものだからです。(前項の水圧の説明参照。)

3224-60-1a左図の赤矢印から紫矢印のように、一つひとつの分子の重さが重くなる(密度が大きくなる)と矢印の長さの差も大きくなるので、物体にかかる圧力差も大きくなります。

3224-50-5aつまり、物体の上面と下面を押す力の差(=浮力)は、(分子の個数)×(分子の重さ)となります。これはまさに物体が排除した流体の重さであり、これがアルキメデスの原理であります。

3224-50-6a体積が同じならば物体の向きが変わっても物体の形が変わっても浮力の大きさは変わりません。左図においては、どのように変化しようと、浮力は分子4個分の重さです。

3224-70-1a体積が同じならば深いところにあっても浅いところにあっても浮力の大きさは変わりません。左図においては、物体が浅いところにあろうと深いところにあろうと、浮力は分子4個分の重さです。

3224-50-7a物体が変わってもその体積が変わらなければ浮力も変わりません。

浮き沈み

体積が変わらなければ浮力は変わりませんが、物体の密度が変われば浮くかもしれないし沈むかもしれません。物体が浮くか沈むかは、浮かせようとする力(浮力)と沈ませようとする力の兼ね合いで決まります。浮き沈みは浮力だけでは決まりません。

3224-50-8物体の体積は変わらないとして、物体が重くなる(密度が大きくなる)と沈ませようとする力は大きくなります。この力が浮力より大きいか小さいかで物体が浮くか沈むか決まります。いま下向きを正と決めますと、沈ませようとする力 - 浮力 = 合力 という式が書けます。この式における合力が +(プラス)なら物体は沈みますし -(マイナス)なら物体は浮きます。この合力浮力を混同しないようにしてください。

3224-80-1このとき沈ませようとする力というのは物体の重さであります。

3224-80-2浮力というのは物体が排除した流体の重さを上向きに変えたものです。

3224-90-1この2つは体積が同じです。ということは、この2つの重さを比べるということはこの2つの密度(単位体積当たりの質量)を比べるということです。つまり合力がプラスかマイナスか調べることは、物体の密度と流体の密度を比較するということになります。

3224-100-1aいま流体が水(密度1000[kg/m³])であるとします。物体の密度がこれと同じ1000[kg/m³]であるならば、物体は水中で静止します。物体の密度がこれより大きければ、物体は沈みます。物体の密度がこれより小さければ、物体は浮きます。

3224-100-2a今度は物体の密度が1000[kg/m³]で一定であるとします。流体の密度がこれと同じ1000[kg/m³]であるならば、物体は静止します。流体の密度がこれより大きければ(海水など)、物体は浮きます。流体の密度がこれより小さければ(油など)、物体は沈みます。

プールの水より海水の方が体が浮きやすいのは、このような原理からです。

3224-100-3上の例は、体積を考えず密度だけを比較すればいいという例でしたが、密度が均一でない物体の場合は、物体全体の体積と物体全体の重さを考えなければなりません。物体の体積が大きければ排除する流体の量も大きくなるのだから浮力も増しますし、物体の重さが大きくなれば沈ませようとする力が大きくなります。その兼ね合いで浮くのか沈むのか決まります。

3224-100-4a潜水艦は海中に留まっているときは浮力沈ませようとする力合力が0になるように調整されています。沈もうとするときはバラストタンクといわれる装置に海水をいれて潜水艦全体の体積を減らして浮力を小さくして沈みます。(これは海水を入れて潜水艦を重くして沈ませようとする力を大きくしたとみなすこともできます)。浮上するときはバラストタンクから海水を吐き出して潜水艦全体の体積を増やして浮力を大きくして浮上します。(潜水艦の重さを軽くしたともみなせます)。

人間も、息を吸って肺を膨らまして体積を増やすと浮きやすいですし、息を吐いて肺を小さくして体積を小さくすると潜水しやすいです。

タンカーは浮力沈ませようとする力合力が0になって一定の高さを保っているわけですが、港で荷物を降ろすとタンカーの総重量が軽くなり(すなわち沈ませようとする力が小さくなり)浮力が勝り、浮き上がります。だんだん浮き上がっていくと、タンカーの海水に沈んでいる部分の体積が小さくなり(すなわち排除する流体の量が小さくなり)浮力が小さくなっていき、沈ませようとする力とつり合って(合力が0になって)静止します。タンカーは荷物を積んでいるときと積んでいないときで高さがだいぶ違います。それでも違いすぎると困るので潜水艦と同様バラストタンクが備わっているそうです。

3224-110-1.gifなお、水面に浮かんでいるものには浮力がはたらかないと勘違いしないでください。物体の上面を押す力と下面を押す力の差が浮力でありますが、上面から押す力がなくても下面から押す力があるので浮力はあります。水面に浮かんでいる板においても、わずかに沈んでいる部分によって流体を排除していますので浮力が発生しています。そして浮かび続けているということは、沈ませようとしても浮力の方が勝ってしまうということであり、これはすなわち物体の密度が流体の密度より小さいということです。

3224-100-5また、水よりも密度の小さい(=軽い)物体が水底にある場合浮力がはたらいて上昇するのか、という問題がありますが、この問題を額面どおりに受け止めれば、浮力ははたらかない、ということになります。物体の下に水が入り込まないと浮力ははたらかないからです。しかし実際には、物体の下の隙間に水が入り込んで浮力がはたらいて物体は上昇してしまいます。物体を上昇させないためには吸盤のようなものを使って絶対に水が入らない状態を作らなければなりません。ですのでこの問題の解答は、「理屈の上では浮力ははたらかないが、実験をするとき浮力がはたらかない状態を作るのは大変」ということになります。

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